日前，理学院青年教师林馨博士以第一作者身份与美国加州大学尔湾分校万大庆教授共同合作在国际著名数学期刊Mathematische Zeitschrift（德国数学杂志）上发表题为“On inverted Kloosterman sums over finite fields”的学术论文。这是林馨博士继论文“L-functions of certain exponential sums over finite fields”之后在该期刊发表的第二篇学术论文。Mathematische Zeitschrift创刊于1918年，是国际著名综合性数学杂志，以发表原创性成果著称，曾有多位菲尔兹奖得主在该期刊上发表论文。
有限域上代数簇的有理点是数论和代数几何的重要研究对象，也是推动现代数学发展的动力之一。有理点个数可以由某个洛朗多项式的指数和表示，这一类指数和的生成L-函数可以看作Weil猜想研究的一类有限域上光滑代数簇的zeta函数的推广。对于上述L-函数的研究可以归结为对其零点赋值的研究，这对应于 L-函数的黎曼假设问题，也给出了估计指数和的新方法。
林馨及其合作者发表于Mathematische Zeitschrift期刊的论文先后研究了两类L-函数的零点 p-进赋值与绝对值，进而优化了对应指数和的上界估计。其中，关于第一类L-函数的工作改进了著名数学家Birch与Bombieri（菲尔兹奖得主）得到的一个指数和估计式，并给出其最优上界。该估计式被Friedlander, Iwaniec, Heath-Brown, 张益唐等著名数论学家应用于除数函数、孪生素数猜想等问题的研究。关于第二类L-函数的工作将著名数学家Katz得到的关于翻转Kloosterman和的上界估计从二元推广至任意n元，并且在不同限制下给出了该指数和的三个上界估计。这一结论可用于证明拉马努金图的相关问题。
区别于已有文献中的l-进方法，林馨及其合作者的工作借助零点的p-进赋值、Dwork迹公式与边界分解定理等理论工具求解零点的绝对值。这是p-进方法在零点绝对值研究中的创新应用，为L-函数的零点绝对值计算及其指数和的上界估计提供了新的方法。
林馨博士为我校理学院基础数学学科代数与数论团队讲师，主要从事数论及其应用方向的研究和教学工作。西北大学理学博士，美国加州大学尔湾分校联合培养博士。主持国家自然科学基金青年基金项目1项，参与国家自然科学基金面上项目2项。在Mathematische Zeitschrift，Journal of Number Theory，Acta Arithmetica，数学学报（英文版）等国内外数学期刊上发表学术论文十余篇。
论文电子版链接：
https://link.springer.com/article/10.1007/s00209-024-03457-0
https://link.springer.com/article/10.1007/s00209-021-02843-2
图 1 论文首页
图 2 论文首页